SPI場合の数｜同じものを含む順列型 例題6
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TOMATOの6文字をすべて使って並べ替えるとき、文字列は何通りできるか。
正解：B. 180通り
【解き方】 ステップ1: 6文字の内訳は T が2個、O が2個、M と A が1個ずつ。 ステップ2: すべて区別して並べると 6! = 720通り。 ステップ3: Tの入れ替え 2! とOの入れ替え 2! が重複しているので、720 ÷ (2!×2!) = 720 ÷ 4 = 180通り。 メモ: 同じ文字が2種類あるときは、両方の階乗で割る。割る数を全部書き出してから計算すると漏れない。 よくある間違い: Tだけ、Oだけを割って360通りとするなど、2種類目を割り忘れるミスが多い。
| 考え方 | 式 | 値 |
|---|---|---|
| すべて区別して並べる | 6! | 720 |
| 同じもの同士の入れ替え(重複) | 2!×2! | 4 |
| 区別しない並べ方 | 720 ÷ 4 | 180通り |
「AABBC」「SUCCESS」のように同じ文字や同じ色の玉を含む並べ方は、まずすべてを区別して並べた n! 通りを数え、同じもの同士の入れ替え(それぞれ a!、b! …)で割ります。公式は n! ÷ (a!×b!×…)。格子状の道の最短経路も「東に4回、北に3回」を並べる同じものを含む順列(7! ÷ (4!×3!) = 35通り)として数えられます。割るのは足し算ではなく階乗の「積」である点に注意しましょう。
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