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目安時間は当サイトが演習用に設定した目安で、公式の基準ではありません。
場合の数は「並べる(順番が関係する)」のか「選ぶだけ(順番は関係ない)」のかを見極めることがすべてです。この判断さえ間違えなければ、あとは公式に当てはめるだけで解けます。SPIでは「0を先頭に使えない」などの制約付き問題や、「少なくとも〜」という余事象問題もよく出題されます。
場合の数を演習する「カードを並べて◯桁の整数を作る」のように、順番が結果に影響する場合は順列を使います。使える候補の数を1つずつ減らしながら、選ぶ位の数だけ掛け算します。 例: 1〜5の5枚のカードから3枚を選んで3桁の整数を作る場合 → 百の位5通り×十の位4通り×一の位3通り = 60通り。「並べる」「順番に選ぶ」「1列に並ぶ」というキーワードが順列のサインです。
「◯人の中から◯人の代表を選ぶ」のように、選ばれた中に順番(役割の違い)がない場合は組み合わせを使います。nCr = n×(n−1)×…(r個分) ÷ r! という公式で計算し、分母のr!(階乗)を忘れずに割ります。 例: 5人の中から委員3人を選ぶ場合 → 5C3 = (5×4×3) ÷ (3×2×1) = 60÷6 = 10通り。「選ぶ」「取り出す」「グループを作る」が組み合わせのサインです。
「0を先頭に使えない」「特定の2人が必ず隣り合う」など制約がある問題は、まず制約を無視した全体数を求め、そこから条件に外れる場合を引きます。 例: 0〜4の5枚のカードから3枚選んで3桁の整数を作る場合 → まず全体(百の位に0以外の4通り×残り4枚から2枚=4×3=12)=48通り。または「0が先頭になる場合(十の位4通り×一の位3通り=12)」を全体60通りから引いて48通り、と2通りの方法で解けます。
「少なくとも1つ〜」「◯以上になる確率」のように、直接数えると場合分けが多くなる問題は、反対の事象(1つも当てはまらない場合)を全体から引く方が速いです。 例: 5人の中から少なくとも1人は女性が含まれる3人の選び方(女性2人、男性3人) → 全体の5C3=10通りから「全員男性の場合(3C3=1通り)」を引く → 10−1=9通り。場合を直接数えると「女性1人の場合+女性2人の場合」と2パターン計算が必要で、余事象の方が圧倒的に速いです。
A.順列です。委員長と副委員長は役割が異なるため、AさんとBさんが選ばれた場合に「A委員長+B副委員長」と「B委員長+A副委員長」は別の結果になります。役割(ポスト)の有無が判断基準です。
A.計算する前に分子と分母を個別に約分していきましょう。例えば5C3=(5×4×3)÷(3×2×1)なら、分母の3と分子の3、分母の2と分子の4を約分すると5×2×1=10と速く計算できます。
A.「何通り」は場合の数そのものを答える問題です。確率はさらに「求める場合の数÷全体の場合の数」を計算します。場合の数を正確に数えることが確率問題の前半の仕事です。
SPI対策は「知る → 解ける → 練習する」の3ステップで進めると迷いません。
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