SPI場合の数｜同じものを含む順列型 例題2
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SUCCESSの7文字をすべて使って並べ替えるとき、文字列は何通りできるか。
正解：B. 420通り
【解き方】 ステップ1: 7文字の内訳は S が3個、C が2個、U と E が1個ずつ。 ステップ2: すべて区別して並べると 7! = 5,040通り。 ステップ3: Sの入れ替え 3! = 6 と、Cの入れ替え 2! = 2 の分が重複しているので、5,040 ÷ (3!×2!) = 5,040 ÷ 12 = 420通り。 メモ: 文字の問題は、まず文字ごとの個数を数える。1個だけの文字は 1! = 1 なので割る必要がない。 よくある間違い: 2回出てくるCだけを割って 5,040÷2 = 2,520通りとするなど、同じ文字を数え漏らすミスが多い。Sが3個ある点を見落とさないこと。
| 考え方 | 式 | 値 |
|---|---|---|
| すべて区別して並べる | 7! | 5,040 |
| 同じもの同士の入れ替え(重複) | 3!×2! | 12 |
| 区別しない並べ方 | 5,040 ÷ 12 | 420通り |
「AABBC」「SUCCESS」のように同じ文字や同じ色の玉を含む並べ方は、まずすべてを区別して並べた n! 通りを数え、同じもの同士の入れ替え(それぞれ a!、b! …)で割ります。公式は n! ÷ (a!×b!×…)。格子状の道の最短経路も「東に4回、北に3回」を並べる同じものを含む順列(7! ÷ (4!×3!) = 35通り)として数えられます。割るのは足し算ではなく階乗の「積」である点に注意しましょう。
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