SPI場合の数｜同じものを含む順列型 例題1
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A、A、B、B、Cの5文字をすべて使って一列に並べるとき、文字列は何通りできるか。
正解：C. 30通り
【解き方】 ステップ1: 5文字すべてを区別して並べると 5! = 120通り。 ステップ2: ただしAが2つ、Bが2つ同じ文字なので、同じ文字同士を入れ替えても文字列は変わらない。Aの入れ替え 2!、Bの入れ替え 2! だけ重複して数えている。 ステップ3: 重複を除くので 120 ÷ (2!×2!) = 120 ÷ 4 = 30通り。 メモ: 同じものを含む順列は n! ÷ (同じものの個数の階乗の積)。分母に入れ替えの数を並べる。 よくある間違い: 5! = 120通りをそのまま答えにするミスが多い。同じ文字が混ざっているときは必ず重複を割る。
| 考え方 | 式 | 値 |
|---|---|---|
| すべて区別して並べる | 5! | 120 |
| 同じもの同士の入れ替え(重複) | 2!×2! | 4 |
| 区別しない並べ方 | 120 ÷ 4 | 30通り |
「AABBC」「SUCCESS」のように同じ文字や同じ色の玉を含む並べ方は、まずすべてを区別して並べた n! 通りを数え、同じもの同士の入れ替え(それぞれ a!、b! …)で割ります。公式は n! ÷ (a!×b!×…)。格子状の道の最短経路も「東に4回、北に3回」を並べる同じものを含む順列(7! ÷ (4!×3!) = 35通り)として数えられます。割るのは足し算ではなく階乗の「積」である点に注意しましょう。
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