SPI場合の数｜同じものを含む順列型 例題5
最終更新：
1、1、1、2、3の5枚のカードをすべて使って5桁の整数を作るとき、整数は何通りできるか。
正解：B. 20通り
【解き方】 ステップ1: 5枚をすべて区別して並べると 5! = 120通り。 ステップ2: 1のカードが3枚あるので、その入れ替え 3! = 6 が重複している。 ステップ3: 120 ÷ 3! = 120 ÷ 6 = 20通り。 メモ: 数字のカードも文字と同じ。同じ数字の枚数だけ階乗で割る。 よくある間違い: 「1が3枚あるから3で割る」と 3! ではなく 3 で割ってしまい、40通りとするミスがある。割るのは階乗(3×2×1 = 6)。
| 考え方 | 式 | 値 |
|---|---|---|
| すべて区別して並べる | 5! | 120 |
| 同じもの同士の入れ替え(重複) | 3! | 6 |
| 区別しない並べ方 | 120 ÷ 6 | 20通り |
「AABBC」「SUCCESS」のように同じ文字や同じ色の玉を含む並べ方は、まずすべてを区別して並べた n! 通りを数え、同じもの同士の入れ替え(それぞれ a!、b! …)で割ります。公式は n! ÷ (a!×b!×…)。格子状の道の最短経路も「東に4回、北に3回」を並べる同じものを含む順列(7! ÷ (4!×3!) = 35通り)として数えられます。割るのは足し算ではなく階乗の「積」である点に注意しましょう。
場合の数の解き方ガイドを読む →