SPI場合の数｜同じものを含む順列型 例題4
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図のような格子状の道で、A地点からB地点まで、東へ4区画、北へ3区画進む最短経路は何通りあるか。（東に進む操作を4回、北に進む操作を3回、並べる順序で考える）
正解：C. 35通り
【解き方】 ステップ1: 最短経路では、東に1区画進む操作を4回、北に1区画進む操作を3回、合計7回行う。 ステップ2: 経路は「東×4、北×3」の7つの操作を並べる順序で決まる。 ステップ3: 同じ操作は区別しないので 7! ÷ (4!×3!) = 5,040 ÷ 144 = 35通り。（7C3 = 35 と同じ） メモ: 格子の最短経路は「同じものを含む順列」の典型。7回の操作のうち、北に進む3回をいつ行うかを選ぶ 7C3 と考えてもよい。 よくある間違い: 東4+北3 = 7通りのように足してしまうミスがある。経路は操作の並べ方なので、順列で数える。
| 考え方 | 式 | 値 |
|---|---|---|
| すべて区別して並べる | 7! | 5,040 |
| 同じもの同士の入れ替え(重複) | 4!×3! | 144 |
| 区別しない並べ方 | 5,040 ÷ 144 | 35通り |
「AABBC」「SUCCESS」のように同じ文字や同じ色の玉を含む並べ方は、まずすべてを区別して並べた n! 通りを数え、同じもの同士の入れ替え(それぞれ a!、b! …)で割ります。公式は n! ÷ (a!×b!×…)。格子状の道の最短経路も「東に4回、北に3回」を並べる同じものを含む順列(7! ÷ (4!×3!) = 35通り)として数えられます。割るのは足し算ではなく階乗の「積」である点に注意しましょう。
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