SPI場合の数｜同じものを含む順列型 例題3
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赤玉2個、白玉3個、青玉1個の合計6個を一列に並べるとき、色の並び方は何通りあるか。同じ色の玉は区別しないものとする。
正解：B. 60通り
【解き方】 ステップ1: 6個をすべて区別して並べると 6! = 720通り。 ステップ2: 赤玉2個の入れ替え 2! = 2 と、白玉3個の入れ替え 3! = 6 が重複している。 ステップ3: 720 ÷ (2!×3!) = 720 ÷ 12 = 60通り。 メモ: 色の並び方は、同じ色の玉を区別しない順列。「玉に番号をふったら何通りか」を考えて、同じ色の入れ替え分で割る。 よくある間違い: 割る数を 2+3 = 5 など「足し算」にするミスが多い。分母は階乗の「積」(2!×3!)。
| 考え方 | 式 | 値 |
|---|---|---|
| すべて区別して並べる | 6! | 720 |
| 同じもの同士の入れ替え(重複) | 2!×3! | 12 |
| 区別しない並べ方 | 720 ÷ 12 | 60通り |
「AABBC」「SUCCESS」のように同じ文字や同じ色の玉を含む並べ方は、まずすべてを区別して並べた n! 通りを数え、同じもの同士の入れ替え(それぞれ a!、b! …)で割ります。公式は n! ÷ (a!×b!×…)。格子状の道の最短経路も「東に4回、北に3回」を並べる同じものを含む順列(7! ÷ (4!×3!) = 35通り)として数えられます。割るのは足し算ではなく階乗の「積」である点に注意しましょう。
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